第12回　手間のかかる近道（後編）

（前編から続く）

僕「これで、 $3$ 桁の場合の証明ができたよね」（第11回参照）

ユーリ「うん、まーね」

僕「これを、さらに一般化してみよう。数学がおもしろくなるのはここからだよ。いいかい、 $n$ という文字を導入して……」

ユーリ「ちょっと待って、お兄ちゃん」

僕「がく。どうした？」

ユーリの主張

ユーリ「あのね、お兄ちゃんはいま、 $N$ が $3$ 桁の場合を証明してくれたじゃん？」

僕「うん」

ユーリ「そんとき、数式を使ったよね」

僕「そうだよ。 $N = 100a + 10b + c$ とおいたけど？」

ユーリ「でもね、もっと、ずっと、簡単にできそーだ！　ってひらめいたの」

僕「へえ！　どういうひらめき？」

ユーリは栗色のポニーテールを揺らして熱心に話し出す。

ユーリ「あのね、《 $N$ の各桁を足したのが $3$ の倍数》かどうかで《 $N$ は $3$ の倍数》かどうかを判定したいんでしょ？」

僕「そうだよ、それでいい」

ユーリ「 $0$ は $3$ の倍数じゃん？　そこに $1$ ずつ足してくんだよ。そーすると、倍数→違う→違う→倍数→違う→違う→倍数→……ってなるの。 どっちもそーなの」

僕「え？　ちょっとよくわからないな。ユーリは何を言いたいの？　倍数・違う・違う……って何？」

ユーリ「 $0$ は $3$ の倍数だよね。《倍数》」

僕「そうだよ」

ユーリ「 $1$ は $3$ の倍数じゃない。《違う》」

僕「うん」

ユーリ「 $2$ も $3$ の倍数じゃない。《違う》……ね？」

僕「ああ、そういうこと？　 $3$ の倍数が $3$ つごとに出てくるって言いたいんだね」

ユーリ「だから、そー言ってんじゃん！」

僕「それがどうしたの？　いま考えているのは《 $3$ の倍数の判定法》だよ」

ユーリ「だーかーらー！　それをいま説明してんじゃん！　ちゃんと聞いてよ。 $3$ の倍数はどっちも $3$ つごとなの！　でね、足し算の方はね、位上がりのところが $9$ でうまくいくから大丈夫なの。 一の位に $1$ を乗せるか、十の位に $1$ を乗せるかの違いだもん。 だから、ほらね。証明できた」

僕「何が？　ごめん、ユーリ。何を言いたいのかわからないよ」

ユーリ「えー！　なんでお兄ちゃん、わかってくんないの？　お兄ちゃん、嫌いっ！」

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大声を出すユーリ。 めずらしく涙目になっていて、僕はあわてた。

ふだん、僕はユーリの話をかなり根気よく聞く方だと思う。 それから、彼女の説明したいことも、先取りして理解しているつもりだ。 でも、今回はまだよくわからない。

いま考えたいことは、 《 $N$ の各桁をすべて加えた数は $3$ の倍数である》が《 $N$ は $3$ の倍数である》の判定法だということなんだけれど……。

ユーリはいったい何を考えてるんだろう。

ユーリの説明

僕「ねえ、ユーリ。ちゃんと聞くから、もう少しゆっくり説明してくれるかなあ」

ユーリはしばらくムッとしていたけれど、しぶしぶ話し出した。

ユーリ「……あのね、ユーリは $0$ から順に考えることにしたの。お兄ちゃんは数式を使って証明してくれたけど、 なんだかね、それがややこしいと思ったから。 だって $3$ の倍数ってもっと簡単じゃん？　だからバシッとできると思ったの」

僕「うん、それで？」

ユーリ「 $0$ は $3$ の倍数だし、 $1$ は $3$ の倍数じゃないし、 $2$ は $3$ の倍数じゃないし、 $3$ は $3$ の倍数でしょ？」

僕「うん、いいよ」

ユーリ「それでね、 $0,1,2,3,4,\ldots$ みたいにね、順に考えていくの。そうすると、 $3$ つごとに $3$ の倍数になるわけでしょ？」

$$ \underline{0}, 1, 2, \underline{3}, 4, 5, \underline{6}, 7, 8, \underline{9}, 10, 11, \underline{12}, 13, \ldots $$

僕「その通りだよ。 $N$ を $1$ ずつ増やしていくと、 $3$ つごとに $3$ の倍数になる」

ユーリ「でね、もしもさ、数がヒトケタなら《いえる》じゃん？」

僕「《いえる》って……何が？」

ユーリ「あーもー！　《各桁を足したのが $3$ の倍数になるかどうか》が《全体も $3$ の倍数になるかどうか》の判定法だ——そう《いえる》でしょ！　ヒトケタなら！」

僕「あ、そうだね。確かに《いえる》。数が一桁（ $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ ）なら当たり前だね。各桁といっても数字一つなんだから」

ユーリ「だからさー、問題は位（くらい）が上がるときだけなの。位上がりについて気をつければいーんだよ！」

僕「お。ユーリが言いたいことがわかってきたぞ」

ユーリ「位上がりが起きるのは《 $9$ に $1$ 足したときだけ》でしょ？　そんときはね、《一の位に $1$ を乗せる》か《十の位に $1$ を乗せるか》の違いだけだからいいの。《 $9$ はつぶれてもいい》し！」

僕「その《 $1$ を乗せる》と《 $9$ はつぶれてもいい》って何のこと？」

ユーリ「あーもー！　にぶいにゃあ！　こういうこと！」