第121回 平らに均す平均値(前編)

「平均なんて簡単に計算できるじゃん。足して割ればいーんだもん」とユーリは言った。
登場人物紹介
:数学が好きな高校生。
ユーリのいとこの中学生。のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。

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僕の部屋

「ユーリ、何だかうれしそうだね」

ユーリ「えっへへ、わかる?」

「何となくね。にやにやしているから」

ユーリ「にやにやじゃなく、にこにこなんだけどなー」

「何かいいことあったの?」

ユーリ「んー、たいしたことじゃないけど。こないだの期末の結果」

「ああ、期末テスト。点数よかったの?」

期末テストの主要 $5$ 科目

ユーリ「まーね。今日、 $5$ 科目で最後の数学が返ってきて、 $100$ 点だった!」

「 $100$ 点はすごいな……念のために聞くけど、 $100$ 点満点のテストなんだよね?」

ユーリ「その質問、ひっどいなー!  $100$ 点満点だよー。今回、他の $4$ 科目わるかったから、ギリで助かった」

「数学 $100$ 点のおかげで平均点もアップしたんだね」

ユーリ「そーだよ。数学のおかげで平均が $5$ 点もアップした!」

「なるほど……ユーリの期末テストは $5$ 科目平均が $80$ 点か」

ユーリ「んんんんんっ!? ちょっと待ったぁ!」

「え? 違った?」

ユーリ「何でお兄ちゃんがユーリの平均点知ってんの?」

「知ってるのって……」

ユーリ「誰から聞いたのっ?」

「……ユーリから」

ユーリ「言ってないもん! ユーリは『平均が $5$ 点上がった』って言っただけじゃん!  $5$ 科目の平均点なんて言ってないもん!」

「計算すればすぐわかるよ」

ユーリ「はああ?」

「つまり、こんな問題を解いたんだね」

問題(平均点を求める)
ユーリは $100$ 点満点のテストを $5$ 科目受験した。
ユーリが最後に受けた数学の点数は $100$ 点で、これによって、平均点は $5$ 点上がった。
ユーリの $5$ 科目平均点を求めよ。
(あなたも、考えてみましょう!)

ユーリ「いやいやいや、問題形式にしなくていいから!」

「簡単に解けるだろ?」

ユーリ「そっか……確かに解けるね。うー、不覚不覚! 数学 $100$ 点で平均点 $5$ 点上げたから、 $4$ 科目で $20$ 点分になって、 $5$ 科目平均は $100$ 点から $20$ 点引いて $80$ 点ってバレちゃうのか……うわー」

「え? いまどんな計算やった?」

ユーリ「え?」

「僕はこうやって解いたよ。数学を除いた $4$ 科目の平均点を $x$ 点とすると、 $4$ 科目の合計点は $4x$ 点。それに $100$ 点の数学を加えて、 $5$ 科目の合計点は $4x + 100$ 点。 ところで、 $4$ 科目より $5$ 科目のほうが $5$ 点だけ平均点がアップしてるから、 $5$ 科目の平均点は $x + 5$ となる。 ということは $5$ 科目の合計点は $5(x + 5)$ ともいえる。こういう二つの見方で $5$ 科目の合計点を考えると、 $$ 4x + 100 = 5(x + 5) $$ という一次方程式が立てられる。 これを解くと $x = 75$ になる。 つまり、 $4$ 科目の平均点は $75$ 点で、 $5$ 科目の平均点は $80$ 点」

ユーリ「え、お兄ちゃんはこれ、暗算で解けるの?」

「まあ、このくらいは。ちゃんと書いてもいいけど…… $$ \begin{align*} 4x + 100 &= 5(x + 5) && \textbf{上の一次方程式} \\ 4x + 100 &= 5x + 25 && \textbf{展開した} \\ 100 - 25 &= 5x - 4x && \textbf{移項した} \\ x &= 75 && \textbf{計算して右辺と左辺を交換した} \\ \end{align*} $$ ……結果は同じだね」

ユーリ「こーゆー感じでユーリは考えたよ。あのね、数学の $100$ 点から《 $5$ 科目平均を超えた分》を、《残りの $4$ 科目にわけてあげる》の。 そのためにはアップした $5$ 点が $4$ 科目分だから $20$ 点わけてあげることになるでしょ? だとしたら、 数学の点数から $20$ 点引いた分が $5$ 科目平均」

ユーリの考え

「ああ、なるほど。このほうがずっとわかりやすいな」

ユーリ「へっへー……じゃなくて! さりげなくテストの点数聞き出すなんて、ちょっとひどくない? お兄ちゃんの(ピ—)!」

「ごめんごめん」

ユーリ「ぷんぷん」

「べつにそういうつもりで聞いたんじゃないんだけどな」

ユーリ「まー、いーけど。うっかり数学トリックに引っかかってしまったぜ!」

「べつにトリックで引っ掛けようと思ったわけじゃないよ……」

ユーリ「でも、このトリック、友達の点数聞き出すのに使えるね。メモメモ……」

$5$ 科目めのテストの点数を聞く( $a$ とする)。
$4$ 科目の平均点から $5$ 科目の平均点がどれだけ上がったかを聞く( $d$ とする)。
このとき、 $5$ 科目の平均点は、 $$ a - 4d $$ で求められる。

「そうだね。ユーリの場合は $a = 100, d = 5$ で、 $a - 4d = 80$ だったわけだ」

ユーリ「平均ってアナドれない……」

「平均値は代表値のひとつだから、いろんなことがわかっちゃうんだよ」

ユーリ「だいひょうち?」

代表値

データとしてたくさんの数を扱いたい。でも、あまり多すぎると扱いが難しくなる。だから《一つの数》で代表させたくなる。 たくさんの数をひとつひとつ知らなくても、その代表値さえわかっていたら、 データについてだいたいのことがわかる。そういう数を代表値っていうんだよ。平均値は代表値の一つだね」

ユーリ「ふーん」

「いまも、ユーリの点数が全科目バレたわけじゃないよね。わかったのは数学の点数だけ。でも平均点が $80$ 点だってわかると、 全科目の点数がわからなくても、成績の様子はある程度わかる。 平均点が $80$ 点ということは $5$ 科目の合計点は $400$ 点で……」

ユーリ「具体的な数値はいーから。今回の期末は社会が足をひっぱったんだよー」

「今回の期末テスト、ユーリは数学で $100$ 点だった。もちろんこれはユーリの $5$ 科目の点数というデータの中で最大値になるよね。 最大値も代表値の一つ」

ユーリ「あ、平均値だけじゃないんだ」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回はお休み。無料リンク2個をツイート。公式 https://t.co/7Nl3lNQ6Yn https://t.co/x64lqD9oDH 4年以上前 replyretweetfavorite

hyuki 金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回はお休み。無料リンク2個をツイート。公式 https://t.co/7Nl3lNQ6Yn https://t.co/x64lqD9oDH 4年以上前 replyretweetfavorite

0kironima27 昨日はいろいろドタバタしていて、今朝ゆっくり読みましたが、結城浩さんの数学ガールの秘密ノート連載、今回から統計学の話で楽しみにしてました。*\(^o^)/* https://t.co/2HI6mVgpTP 5年弱前 replyretweetfavorite

012F840A_orange グラフの上では、平均値は面積が等しい長方形の縦軸になるのかな。 積分して、積分区間の大きさで割る。 5年弱前 replyretweetfavorite