僕：数学が好きな高校生。
ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだけれど飽きっぽい。
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僕の部屋
僕「ユーリ、何だかうれしそうだね」
ユーリ「えっへへ、わかる？」
僕「何となくね。にやにやしているから」
ユーリ「にやにやじゃなく、にこにこなんだけどなー」
僕「何かいいことあったの？」
ユーリ「んー、たいしたことじゃないけど。こないだの期末の結果」
僕「ああ、期末テスト。点数よかったの？」
期末テストの主要 $5$ 科目
ユーリ「まーね。今日、 $5$ 科目で最後の数学が返ってきて、 $100$ 点だった！」
僕「 $100$ 点はすごいな……念のために聞くけど、 $100$ 点満点のテストなんだよね？」
ユーリ「その質問、ひっどいなー！ $100$ 点満点だよー。今回、他の $4$ 科目わるかったから、ギリで助かった」
僕「数学 $100$ 点のおかげで平均点もアップしたんだね」
ユーリ「そーだよ。数学のおかげで平均が $5$ 点もアップした！」
僕「なるほど……ユーリの期末テストは $5$ 科目平均が $80$ 点か」
ユーリ「んんんんんっ！？ ちょっと待ったぁ！」
僕「え？ 違った？」
ユーリ「何でお兄ちゃんがユーリの平均点知ってんの？」
僕「知ってるのって……」
ユーリ「誰から聞いたのっ？」
僕「……ユーリから」
ユーリ「言ってないもん！ ユーリは『平均が $5$ 点上がった』って言っただけじゃん！ $5$ 科目の平均点なんて言ってないもん！」
僕「計算すればすぐわかるよ」
ユーリ「はああ？」
僕「つまり、こんな問題を解いたんだね」
ユーリは $100$ 点満点のテストを $5$ 科目受験した。
ユーリが最後に受けた数学の点数は $100$ 点で、これによって、平均点は $5$ 点上がった。
ユーリの $5$ 科目平均点を求めよ。
ユーリ「いやいやいや、問題形式にしなくていいから！」
僕「簡単に解けるだろ？」
ユーリ「そっか……確かに解けるね。うー、不覚不覚！ 数学 $100$ 点で平均点 $5$ 点上げたから、 $4$ 科目で $20$ 点分になって、 $5$ 科目平均は $100$ 点から $20$ 点引いて $80$ 点ってバレちゃうのか……うわー」
僕「え？ いまどんな計算やった？」
ユーリ「え？」
僕「僕はこうやって解いたよ。数学を除いた $4$ 科目の平均点を $x$ 点とすると、 $4$ 科目の合計点は $4x$ 点。それに $100$ 点の数学を加えて、 $5$ 科目の合計点は $4x + 100$ 点。 ところで、 $4$ 科目より $5$ 科目のほうが $5$ 点だけ平均点がアップしてるから、 $5$ 科目の平均点は $x + 5$ となる。 ということは $5$ 科目の合計点は $5(x + 5)$ ともいえる。こういう二つの見方で $5$ 科目の合計点を考えると、 $$ 4x + 100 = 5(x + 5) $$ という一次方程式が立てられる。 これを解くと $x = 75$ になる。 つまり、 $4$ 科目の平均点は $75$ 点で、 $5$ 科目の平均点は $80$ 点」
ユーリ「え、お兄ちゃんはこれ、暗算で解けるの？」
僕「まあ、このくらいは。ちゃんと書いてもいいけど…… $$ \begin{align*} 4x + 100 &= 5(x + 5) && \textbf{上の一次方程式} \\ 4x + 100 &= 5x + 25 && \textbf{展開した} \\ 100 - 25 &= 5x - 4x && \textbf{移項した} \\ x &= 75 && \textbf{計算して右辺と左辺を交換した} \\ \end{align*} $$ ……結果は同じだね」
ユーリ「こーゆー感じでユーリは考えたよ。あのね、数学の $100$ 点から《 $5$ 科目平均を超えた分》を、《残りの $4$ 科目にわけてあげる》の。 そのためにはアップした $5$ 点が $4$ 科目分だから $20$ 点わけてあげることになるでしょ？ だとしたら、 数学の点数から $20$ 点引いた分が $5$ 科目平均」
僕「ああ、なるほど。このほうがずっとわかりやすいな」
ユーリ「へっへー……じゃなくて！ さりげなくテストの点数聞き出すなんて、ちょっとひどくない？ お兄ちゃんの（ピ——）！」
僕「ごめんごめん」
ユーリ「ぷんぷん」
僕「べつにそういうつもりで聞いたんじゃないんだけどな」
ユーリ「まー、いーけど。うっかり数学トリックに引っかかってしまったぜ！」
僕「べつにトリックで引っ掛けようと思ったわけじゃないよ……」
ユーリ「でも、このトリック、友達の点数聞き出すのに使えるね。メモメモ……」
$4$ 科目の平均点から $5$ 科目の平均点がどれだけ上がったかを聞く（ $d$ とする）。
このとき、 $5$ 科目の平均点は、 $$ a - 4d $$ で求められる。
僕「そうだね。ユーリの場合は $a = 100, d = 5$ で、 $a - 4d = 80$ だったわけだ」
ユーリ「平均ってアナドれない……」
僕「平均値は代表値のひとつだから、いろんなことがわかっちゃうんだよ」
ユーリ「だいひょうち？」
代表値
僕「データとしてたくさんの数を扱いたい。でも、あまり多すぎると扱いが難しくなる。だから《一つの数》で代表させたくなる。 たくさんの数をひとつひとつ知らなくても、その代表値さえわかっていたら、 データについてだいたいのことがわかる。そういう数を代表値っていうんだよ。平均値は代表値の一つだね」
ユーリ「ふーん」
僕「いまも、ユーリの点数が全科目バレたわけじゃないよね。わかったのは数学の点数だけ。でも平均点が $80$ 点だってわかると、 全科目の点数がわからなくても、成績の様子はある程度わかる。 平均点が $80$ 点ということは $5$ 科目の合計点は $400$ 点で……」
ユーリ「具体的な数値はいーから。今回の期末は社会が足をひっぱったんだよー」
僕「今回の期末テスト、ユーリは数学で $100$ 点だった。もちろんこれはユーリの $5$ 科目の点数というデータの中で最大値になるよね。 最大値も代表値の一つ」
ユーリ「あ、平均値だけじゃないんだ」
この連載について
数学ガールの秘密ノート
数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに13巻以上も書籍化されている大人気連載です。 （毎週金曜日更新）
